a>0,函数f(x)=ax-bx2,(1)当b>0时,对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2√b

f(x)=ax-bx^2=-b(x-a/2b)^2+a^2/4b，函数过点(0,0)，对称轴x=a/2b
(1)当b>0时,抛物线开口向下，若对任意x∈R都有f(x)≤1,那么最高点a^2/4b≤1，a^2≤4b,由于a＞0，b＞0，所以a≤2√b，得证
(2)当b＞1时，对于x∈[0，1]会出现两种情况：①对称轴x=a/2b≥1，即在[0，1]上抛物线是单调增函数，x=1时有最大值a-b。由a/2b≥1可得a≥2b,那么a-b≥2b-b=b＞1，不符合|f（x）|≤1，所以这种情况不在考虑之内；②对称轴x=a/2b＜1，由于a＞0，b＞1，所以对称轴在[0，1]内，那么如果要求|f(x)|≤1，最高点a^2/4b≤1，解得a≤2√b。这时要考虑当x=1时的情况，如果当x=1时，f(1)＜0，那么还要保证f(1)≥-1，即a-b≥-1，a≥b-1.综合得到b-1≤a≤2√b。反过来当b-1≤a≤2√b时也一定能保证|f(x)|≤1(倒过来证一下即可)，所以对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b